История на създаването на математическия анализ. Математически анализ

Основателите на съвременната наука - Коперник, Кеплер, Галилей и Нютон - подходиха към изучаването на природата като към математика. Изучавайки движението, математиците разработиха такава фундаментална концепция като функцията или връзката между променливите, например д = кт 2 където де разстоянието, изминато от свободно падащо тяло, и T- броят секунди, през които тялото е в свободно падане. Концепцията за функция веднага става централна при определяне на скоростта в даден момент от времето и ускорението на движещо се тяло. Математическата трудност на този проблем беше, че във всеки момент тялото изминава нулево разстояние за нулево време. Следователно, определяйки стойността на скоростта в даден момент от време, като разделим пътя на времето, стигаме до математически безсмисления израз 0/0.

Проблемът за определяне и изчисляване на моментните скорости на промяна на различни величини привлича вниманието на почти всички математици от 17 век, включително Бароу, Ферма, Декарт и Уолис. Различните идеи и методи, които те предложиха, бяха комбинирани в систематичен, универсално приложим формален метод от Нютон и Г. Лайбниц (1646-1716), създателите на диференциалното смятане. Между тях имаше разгорещени дебати по въпроса за приоритета в развитието на това смятане, като Нютон обвини Лайбниц в плагиатство. Въпреки това, както показват изследванията на историците на науката, Лайбниц създава математическия анализ независимо от Нютон. В резултат на конфликта обменът на идеи между математиците в континентална Европа и Англия е прекъснат за много години, в ущърб на английската страна. Английските математици продължават да развиват идеите на анализа в геометрична посока, докато математиците от континентална Европа, включително И. Бернули (1667-1748), Ойлер и Лагранж постигат несравнимо по-голям успех след алгебричния или аналитичен подход.

Основата на целия математически анализ е концепцията за границата. Скоростта в един момент се определя като границата, към която клони средната скорост д/Tкогато стойността Tвсе по-близо до нулата. Диференциалното смятане предоставя удобен за изчисления общ метод за намиране на скоростта на промяна на функция f (х) за произволна стойност х. Тази скорост се нарича производна. От общото съдържание на записа f (х) ясно е, че концепцията за производна е приложима не само в проблеми, свързани с необходимостта от намиране на скорост или ускорение, но и във връзка с всяка функционална зависимост, например към някаква връзка от икономическата теория. Едно от основните приложения на диференциалното смятане е т.нар. максимални и минимални задачи; Друга важна гама от проблеми е намирането на допирателната към дадена крива.

Оказа се, че с помощта на производна, специално изобретена за работа с проблеми с движението, също е възможно да се намерят области и обеми, ограничени съответно от криви и повърхности. Методите на евклидовата геометрия нямаха необходимата общност и не позволяваха да се получат необходимите количествени резултати. Благодарение на усилията на математиците от 17 век. Бяха създадени множество частни методи, които позволиха да се намерят областите на фигури, ограничени от криви от един или друг тип, а в някои случаи беше отбелязана връзката между тези проблеми и проблемите за намиране на скоростта на промяна на функциите. Но, както в случая с диференциалното смятане, Нютон и Лайбниц са тези, които са осъзнали общността на метода и по този начин са положили основите на интегралното смятане.

Методът на Нютон-Лайбниц започва със замяна на кривата, която ограничава областта, която трябва да бъде определена, с последователност от прекъснати линии, които я приближават, подобно на това, което е направено в метода на изчерпване, изобретен от гърците. Точната площ е равна на границата на сумата от площи нправоъгълници, когато нсе обръща към безкрайността. Нютон показа, че тази граница може да бъде намерена чрез обръщане на процеса на намиране на скоростта на промяна на функция. Обратната операция на диференцирането се нарича интегриране. Твърдението, че сумирането може да бъде осъществено чрез обръщане на диференциацията, се нарича основна теорема на смятането. Точно както диференцирането е приложимо към много по-широк клас проблеми от намирането на скорости и ускорения, интегрирането е приложимо към всеки проблем, включващ сумиране, като например физични проблеми, включващи добавяне на сили.

арабски български китайски хърватски чешки датски холандски английски естонски финландски френски немски гръцки иврит хинди унгарски исландски индонезийски италиански японски корейски латвийски литовски малагасийски норвежки персийски полски португалски румънски руски сръбски словашки словенски испански шведски тайландски турски виетнамски

определение - Математически_анализ

В образователния процес анализът включва:

В същото време елементите на функционалния анализ и теорията на интеграла на Лебег се дават по желание, а TFKP, вариационното смятане и теорията на диференциалните уравнения се преподават в отделни курсове. Строгостта на изложението следва моделите от края на 19 век и по-специално използва наивната теория на множествата.

Програмата на курса за анализ, преподаван в университетите в Руската федерация, приблизително съответства на програмата на англо-американския курс „Изчисление“.

История

Предшествениците на математическия анализ са древният метод на изчерпване и методът на неделимите. И трите направления, включително анализа, са свързани с обща първоначална идея: разлагане на безкрайно малки елементи, чиято природа обаче изглежда доста неясна за авторите на идеята. Алгебричен подход ( безкрайно малко смятане) започва да се появява в Wallis, James Gregory и Barrow. Новото смятане като система е създадено изцяло от Нютон, който обаче дълго време не публикува откритията си.

Официалната дата на раждане на диференциалното смятане може да се счита за май, когато Лайбниц публикува първата си статия „Нов метод на върхове и спадове...“. Тази статия в сбита и недостъпна форма излага принципите на нов метод, наречен диференциално смятане.

Лайбниц и неговите ученици

Тези определения са обяснени геометрично, докато на фиг. безкрайно малките нараствания са изобразени като крайни. Разглеждането се основава на две изисквания (аксиоми). Първо:

Изисква се две количества, които се различават една от друга само с безкрайно малка сума, да могат да бъдат взети [когато се опростяват изрази?] безразлично едно вместо друго.

Продължението на всяка такава права се нарича допирателна към кривата. Изследвайки допирателната, минаваща през точката, L'Hopital придава голямо значение на количеството

достигайки екстремни стойности в точките на инфлексия на кривата, докато отношението към не се отдава на особено значение.

Заслужава да се отбележи намирането на точки на екстремум. Ако при непрекъснато увеличаване на диаметъра ординатата първо се увеличава и след това намалява, тогава разликата първо е положителна в сравнение с , а след това отрицателна.

Но всяка непрекъснато нарастваща или намаляваща стойност не може да се превърне от положителна в отрицателна, без да премине през безкрайност или нула... От това следва, че диференциалът на най-голямата и най-малката стойност трябва да бъде равен на нула или безкрайност.

Тази формулировка вероятно не е безупречна, ако си спомним първото изискване: нека, да речем, тогава по силата на първото изискване

;

при нула дясната страна е нула, а лявата не е. Очевидно трябваше да се каже, че може да се трансформира в съответствие с първото изискване, така че в максималната точка . . В примерите всичко се разбира от само себе си и само в теорията на инфлексните точки L'Hopital пише, че е равно на нула в максималната точка, разделено на .

Освен това само с помощта на диференциали се формулират екстремални условия и се разглеждат голям брой сложни проблеми, свързани главно с диференциалната геометрия в равнината. В края на книгата, в гл. 10, излага това, което сега се нарича правило на L'Hopital, макар и в необичайна форма. Нека ординатата на кривата се изрази като дроб, чиито числител и знаменател се равняват на нула при . Тогава точката на кривата c има ордината, равна на отношението на диференциала на числителя към диференциала на знаменателя, взет при .

Според плана на L'Hôpital написаното от него съставлява първата част на Анализа, докато втората трябваше да съдържа интегрално смятане, тоест метод за намиране на връзката между променливите въз основа на известната връзка на техните диференциали. Първото му представяне е направено от Йохан Бернули в неговия Математически лекции по интегралния метод. Тук е даден метод за вземане на повечето елементарни интеграли и са посочени методи за решаване на много диференциални уравнения от първи ред.

Посочвайки практическата полезност и простота на новия метод, Лайбниц пише:

Това, което човек, запознат с това смятане, може да получи директно в три реда, други учени хора бяха принудени да търсят, като следват сложни заобиколни пътища.

Ойлер

Промените, настъпили през следващия половин век, са отразени в обширния трактат на Ойлер. Представянето на анализа започва с двутомно „Въведение“, което съдържа изследвания върху различни представяния на елементарни функции. Терминът „функция“ се появява за първи път едва при Лайбниц, но Ойлер го поставя на първо място. Първоначалното тълкуване на концепцията за функция беше, че функцията е израз за броене (немски. Rechnungsausdrϋck) или аналитичен израз.

Функция за променливо количество е аналитичен израз, съставен по някакъв начин от това променливо количество и числа или постоянни количества.

Подчертавайки, че „основната разлика между функциите се състои в начина, по който те са съставени от променлива и константа“, Ойлер изброява действията, „чрез които количествата могат да се комбинират и смесват едно с друго; тези действия са: събиране и изваждане, умножение и деление, степенуване и вадене на корени; Това трябва да включва и решаването на [алгебрични] уравнения. В допълнение към тези операции, наречени алгебрични, има много други, трансцендентални, като: експоненциални, логаритмични и безброй други, доставени от интегрално смятане. Това тълкуване направи възможно лесното боравене с многозначни функции и не изискваше обяснение за кое поле се разглежда функцията: изразът за броене беше дефиниран за комплексни стойности на променливи, дори когато това не беше необходимо за проблема под разглеждане.

Операциите в израза бяха разрешени само в крайни числа, а трансценденталното проникна с помощта на безкрайно голямо число. В изразите това число се използва заедно с естествените числа. Например, такъв израз за експонента се счита за приемлив

в което едва по-късните автори виждат крайния преход. Бяха направени различни трансформации с аналитични изрази, които позволиха на Ойлер да намери представяне на елементарни функции под формата на серии, безкрайни продукти и т.н. Ойлер трансформира изрази за броене, както правят в алгебрата, без да обръща внимание на възможността за изчисляване на стойността на функция в точка за всяка от написани формули.

За разлика от L'Hopital, Ойлер разглежда подробно трансцендентните функции и по-специално техните два най-изучавани класа - експоненциален и тригонометричен. Той открива, че всички елементарни функции могат да бъдат изразени с помощта на аритметични операции и две операции - вземане на логаритъм и експонента.

Самото доказателство перфектно демонстрира техниката на използване на безкрайно голямото. След като дефинира синус и косинус с помощта на тригонометричната окръжност, Ойлер извежда следното от формулите за добавяне:

Ако приемем и , той получава

изхвърляне на безкрайно малки количества от по-висок порядък. Използвайки този и подобен израз, Ойлер получава известната си формула

След като посочи различни изрази за функции, които сега се наричат елементарни, Ойлер преминава към разглеждане на криви в равнина, начертана чрез свободно движение на ръката. Според него не е възможно да се намери един аналитичен израз за всяка такава крива (вижте също спора за струните). През 19 век, по инициатива на Касорати, това твърдение се счита за погрешно: според теоремата на Вайерщрас всяка непрекъсната крива в съвременния смисъл може да бъде приблизително описана с полиноми. Всъщност Ойлер едва ли беше убеден от това, защото все още трябваше да пренапише пасажа до границата, използвайки символа.

Ойлер започва своето представяне на диференциалното смятане с теорията на крайните разлики, последвано в трета глава от философско обяснение, че „безкрайно малкото количество е точно нула“, което най-вече не отговаряше на съвременниците на Ойлер. След това диференциалите се образуват от крайни разлики при безкрайно малко увеличение и от интерполационната формула на Нютон - формулата на Тейлър. Този метод по същество се връща към работата на Тейлър (1715). В този случай Ойлер има стабилна релация , която обаче се разглежда като релация на две безкрайно малки. Последните глави са посветени на приблизителни изчисления с помощта на серии.

В тритомното интегрално смятане Ойлер интерпретира и въвежда понятието интеграл, както следва:

Функцията, чийто диференциал се нарича неин интеграл и се означава със знака отпред.

Като цяло тази част от трактата на Ойлер е посветена на по-общ, от съвременна гледна точка, проблем на интегрирането на диференциални уравнения. В същото време Ойлер открива редица интеграли и диференциални уравнения, които водят до нови функции, например -функции, елиптични функции и т.н. Строго доказателство за тяхната неелементарност е дадено през 1830 г. от Якоби за елиптични функции и от Лиувил (виж елементарни функции).

Лагранж

Следващата основна работа, която изигра значителна роля в развитието на концепцията за анализ, беше Теория на аналитичните функцииЛагранж и Лакроа пространно преразказват работата на Лагранж по малко еклектичен начин.

В желанието си да се отърве изцяло от безкрайно малкото, Лагранж обръща връзката между производните и реда на Тейлър. Под аналитична функция Лагранж разбира произволна функция, изследвана с аналитични методи. Той обозначава самата функция като , давайки графичен начин за записване на зависимостта - по-рано Ойлер се задоволяваше само с променливи. За прилагане на методите за анализ, според Лагранж, е необходимо функцията да бъде разширена в серия

чиито коефициенти ще бъдат нови функции. Остава да го наречем производна (диференциален коефициент) и да го означим като . Така концепцията за производна е въведена на втората страница на трактата и без помощта на безкрайно малките. Остава да се отбележи, че

следователно коефициентът е два пъти по-голям от производната на производната, т.е

и т.н.

Този подход към тълкуването на понятието производна се използва в съвременната алгебра и служи като основа за създаването на теорията на Вайерщрас за аналитичните функции.

Лагранж работи с такива серии като формални и получава редица забележителни теореми. По-специално, за първи път и доста строго той доказа разрешимостта на първоначалния проблем за обикновени диференциални уравнения във формални степенни редове.

Въпросът за оценката на точността на приближенията, осигурени от частични суми на реда на Тейлър, беше поставен за първи път от Лагранж: в крайна сметка Теории на аналитичните функциитой извежда това, което сега се нарича формула на Тейлър с остатъчен член във форма на Лагранж. Въпреки това, за разлика от съвременните автори, Лагранж не вижда необходимостта да използва този резултат, за да оправдае конвергенцията на редовете на Тейлър.

Въпросът дали функциите, използвани в анализа, наистина могат да бъдат разширени в степенен ред впоследствие стана предмет на дебат. Разбира се, Лагранж знаеше, че в някои точки елементарните функции може да не се разгънат в степенен ред, но в тези точки те не са диференцируеми в никакъв смисъл. Коши в неговия Алгебричен анализцитира функцията като контрапример

удължен с нула при нула. Тази функция е гладка навсякъде по реалната ос и при нула има нулев ред на Маклорен, който следователно не се сближава със стойността . Срещу този пример Поасон възрази, че Лагранж дефинира функцията като единичен аналитичен израз, докато в примера на Коши функцията е дефинирана по различен начин при нула и при . Едва в края на 19-ти век Прингсхайм доказва, че има безкрайно диференцируема функция, дадена от един израз, за който серията на Маклорен се разминава. Пример за такава функция е изразът

По-нататъчно развитие

През последната третина на 19 век Вайерщрас аритметизира анализа, считайки геометричната обосновка за недостатъчна и предлага класическа дефиниция на границата чрез езика ε-δ. Той също така създава първата строга теория за набора от реални числа. В същото време опитите за подобряване на теоремата за интегрируемост на Риман доведоха до създаването на класификация на прекъсването на реалните функции. Бяха открити и „патологични“ примери (непрекъснати функции, които никъде не могат да бъдат диференцирани, запълващи пространството криви). В тази връзка Джордан развива теорията на мярката, а Кантор – теорията на множествата, а в началото на 20 век с тяхна помощ е формализиран математическият анализ. Друго важно развитие на 20-ти век е развитието на нестандартния анализ като алтернативен подход за оправдаване на анализа.

Раздели на математическия анализ

Вижте също

Библиография

Енциклопедични статии

Учебна литература

Стандартни учебници

В продължение на много години в Русия са популярни следните учебници:

Някои университети имат свои собствени ръководства за анализ:

Математика в технически университетСборник учебници в 21 тома.

Богданов Ю. С.Лекции по математически анализ (в две части). - Минск: BSU, 1974. - 357 с.

Учебници за напреднали

Учебници:

Рудин У.Основи на математическия анализ. М., 1976 - малка книга, написана много ясно и кратко.

Проблеми с повишена трудност:

Г. Полиа, Г. Сеге,Задачи и теореми от анализа.

Философията се счита за център на всички науки, тъй като включва първите кълнове на литературата, астрономията, литературата, естествените науки, математиката и други области. С течение на времето всяка област се развива самостоятелно, математиката не беше изключение. Първият „намек“ на анализа се счита за теорията за разлагането на безкрайно малки количества, към която много умове се опитваха да се доближат, но тя беше неясна и нямаше основа. Това се дължи на привързаността към старата научна школа, която беше строга в своите формулировки. Исак Нютон беше много близо до формирането на основите, но беше твърде късно. В резултат на това математическият анализ дължи появата си като отделна система на философа Готфрид Лайбниц. Именно той въведе в научния свят такива понятия като минимум и максимум, точки на инфлексия и изпъкналост на графиката на функция и формулира основите на диференциалното смятане. От този момент нататък математиката е официално разделена на начална и висша.

Математически анализ. Нашите дни

Всяка специалност, независимо дали е техническа или хуманитарна, включва анализ в курса на обучение. Дълбочината на изследване варира, но същността остава същата. Въпреки цялата „абстрактност“, това е един от стълбовете, на които се крепи естествената наука в съвременното й разбиране. С негова помощ, развитите физика и икономика, той е в състояние да опише и предвиди дейностите на фондовата борса и да помогне за изграждането на оптимален портфейл от акции. Въведение в математическия анализ се основава на елементарни понятия:

множества;
основни операции върху множества;
свойства на операциите върху множества;
функции (иначе известни като съпоставяне);
видове функции;
последователности;
числови редове;
ограничение на последователността;
свойства на границите;
непрекъснатост на функцията.

Струва си да се подчертаят отделно такива понятия като множество, точка, права линия, равнина. Всички те нямат дефиниции, тъй като те са основните понятия, върху които се гради цялата математика. Всичко, което може да се направи в процеса, е да се обясни какво точно означават те в отделните случаи.

Лимит като продължение

Основите на математическия анализ включват лимит. На практика той представлява стойността, към която една последователност или функция се стреми, доближава се възможно най-близо до желаното, но не я достига. Означава се като lim; разгледайте специален случай на границата на функцията: lim (x-1)= 0 за x→1. От този най-прост пример е ясно, че при x→1 цялата функция клони към 0, тъй като ако заместим границата в самата функция, получаваме (1-1)=0. По-подробна информация, от елементарни до сложни специални случаи, е представена в своеобразна „Библия“ на анализа - произведенията на Фихтенхолц. Той разглежда математически анализ, граници, тяхното извеждане и по-нататъшно приложение. Например извеждането на числото e (константата на Ойлер) би било невъзможно без теорията на границите. Въпреки динамичната абстрактност на теорията, ограниченията се използват активно на практика в икономиката и социологията. Например, не можете без тях, когато изчислявате лихвата по банков депозит.

През древния период се появиха някои идеи, които по-късно доведоха до интегрално смятане, но в онази епоха тези идеи не бяха развити по строг, систематичен начин. Изчисленията на обеми и площи, една от целите на интегралното смятане, могат да бъдат намерени в Московския математически папирус от Египет (ок. 1820 г. пр. н. е.), но формулите са по-скоро инструкции, без никакви указания за метода, а някои са просто погрешно. В епохата на гръцката математика Евдокс (ок. 408-355 г. пр. н. е.) използва метода на изчерпване за изчисляване на площи и обеми, което предвижда концепцията за граница, а по-късно тази идея е доразвита от Архимед (ок. 287-212 г. пр. н. е.) , измисляйки евристики, които наподобяват методи на интегрално смятане. Методът на изтощаване по-късно е изобретен в Китай от Лю Хуей през 3-ти век сл. н. е., който той използва за изчисляване на площта на кръг. През 5-ти век от н. е. Зу Чонгжи разработва метод за изчисляване на обема на сфера, който по-късно ще бъде наречен принцип на Кавалиери.

Средна възраст

През 14-ти век индийският математик Мадхава Сангамаграма и училището по астрономия и математика в Керала въвеждат много компоненти на смятането, като редове на Тейлър, приближение на безкрайни редове, интегрален тест за конвергенция, ранни форми на диференциация, интеграция член по член, итеративни методи за решаване на нелинейни уравнения и определяне каква площ под кривата е нейният интеграл. Някои смятат, че Юктибхаса е първата работа по математически анализ.

Модерна епоха

В Европа основната работа е трактатът на Бонавентура Кавалиери, в който той твърди, че обемите и площите могат да бъдат изчислени като сбор от обемите и площите на безкрайно тънък участък. Идеите бяха подобни на това, което Архимед очерта в неговия метод, но този трактат на Архимед беше изгубен до първата половина на 20 век. Работата на Кавалиери не беше призната, защото методите му можеха да доведат до погрешни резултати и той създаде съмнителна репутация на безкрайно малките.

По това време в Европа се провеждат официални изследвания на безкрайно малкото смятане, което Кавалиери комбинира с смятане на крайните разлики. Пиер Ферма, твърдейки, че го е заимствал от Диофант, въвежда понятието „квазиравенство“ (на английски: adequality), което е равенство до безкрайно малка грешка. Джон Уолис, Айзък Бароу и Джеймс Грегъри също имат голям принос. Последните две, около 1675 г., доказаха втората фундаментална теорема на смятането.

Причини

В математиката основите се отнасят до стриктно определение на даден предмет, като се започне от точни аксиоми и дефиниции. В началния етап от развитието на смятането използването на безкрайно малки количества се смяташе за небрежно и беше силно критикувано от редица автори, най-вече от Мишел Рол и Бишоп Бъркли. Бъркли отлично описва безкрайно малките като „призраци на мъртви количества“ в книгата си „Аналитикът“ през 1734 г. Разработването на строга основа за смятане занимава математиците повече от век след Нютон и Лайбниц и все още до известна степен е активна област на изследване днес.

Няколко математици, включително Маклорен, се опитаха да докажат валидността на използването на безкрайно малките, но това беше направено едва 150 години по-късно с работата на Коши и Вайерщрас, които най-накрая намериха начин да избегнат простите „малки неща“ на безкрайно малките, и бяха поставени началото на диференциалното и интегралното смятане. В писанията на Коши откриваме универсална гама от фундаментални подходи, включително дефиницията на непрекъснатостта по отношение на безкрайно малки и (донякъде неточен) прототип на (ε, δ)-дефиницията на границата в дефиницията на диференциацията. В работата си Вайерщрас формализира концепцията за граница и елиминира безкрайно малките количества. След тази работа на Вайерщрас общата основа на смятането стават граници, а не безкрайно малки количества. Бернхард Риман използва тези идеи, за да даде точна дефиниция на интеграла. Освен това през този период идеите на смятането са обобщени към евклидовото пространство и към комплексната равнина.

В съвременната математика основите на смятането са включени в клона на реалния анализ, който съдържа пълни дефиниции и доказателства на теоремите на смятането. Обхватът на изследването на смятането стана много по-широк. Анри Лебег разработи теорията за мерките на множеството и я използва за определяне на интеграли на всички функции, освен на най-екзотичните. Лоран Шварц въвежда обобщени функции, които могат да се използват за изчисляване на производните на всяка функция като цяло.

Въвеждането на ограничения не определя единствения строг подход към основата на смятането. Алтернатива би бил например нестандартният анализ на Ейбрахам Робинсън. Подходът на Робинсън, разработен през 60-те години, използва технически инструменти от математическата логика, за да разшири системата от реални числа до безкрайно малки и безкрайно големи числа, както в оригиналната концепция на Нютон-Лайбниц. Тези числа, наречени хиперреални, могат да се използват в обикновените правила на смятането, подобно на Лайбниц.

Важност

Въпреки че някои идеи за смятане са били разработени преди това в Египет, Гърция, Китай, Индия, Ирак, Персия и Япония, съвременната употреба на смятане започва в Европа през 17 век, когато Исак Нютон и Готфрид Вилхелм Лайбниц се основават на работата на по-ранните математици да надграждат върху неговите основни принципи. Развитието на смятането се основава на по-ранни концепции за мигновено движение и площ под крива.

Диференциалното смятане се използва при изчисления, свързани със скорост и ускорение, наклон на кривата и оптимизация. Приложенията на интегралното смятане включват изчисления, включващи площи, обеми, дължини на дъги, центрове на маса, работа и налягане. По-сложните приложения включват изчисления на степенни редове и редове на Фурие.

смятане [ ] се използва и за по-точно разбиране на природата на пространството, времето и движението. Векове наред математиците и философите са се борили с парадоксите, свързани с деленето на нула или намирането на сумата от безкрайна поредица от числа. Тези въпроси възникват при изучаване на движение и изчисляване на площи. Древногръцкият философ Зенон от Елея даде няколко известни примера за подобни парадокси. Calculus предоставя инструменти за разрешаване на тези парадокси, по-специално ограничения и безкрайни серии.

Граници и безкрайно малки

Бележки

Морис Клайн, Математическата мисъл от древността до съвремието, Vol. аз
Архимед, Метод, в Трудовете на Архимед ISBN 978-0-521-66160-7
Дун, Лю; Фен, Дайнян; Коен, син Робъртн.Сравнение на изследванията на окръжностите на Архимдес и Лю Хуей (на английски): списание. - Springer, 1966. - Vol. 130. - С. 279. - ISBN 0-792-33463-9., Глава, стр. 279
Зил, Денис Г.Изчисление: Ранни трансцендентали / Денис Г. Зил, Скот Райт, Уорън С. Райт. - 3. - Jones & Bartlett Learning, 2009. - P. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3., Откъс от страница 27
индийска математика
von Neumann, J., "The Mathematician", в Heywood, R. B., ed., Делата на ума, University of Chicago Press, 1947 г., стр. 180-196. Препечатано в Bródy, F., Vámos, T., eds., Компедиумът на Нойман, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017, стр. 618-626.
Андре Вейл: Теория на числата. Подход през историята. От Хамурапи до Лежандр. Birkhauser Boston, Inc., Бостън, Масачузетс, 1984 г., ISBN 0-8176-4565-9, стр. 28.
Лайбниц, Готфрид Вилхелм. Ранните математически ръкописи на Лайбниц. Cosimo, Inc., 2008 г. Страница 228. Копие
Унлу, Елиф Мария Гаетана Агнези (недефиниран) . Колеж Агнес Скот (април 1995 г.). Архивиран от оригинала на 5 септември 2012 г.

Връзки

Рон Ларсън, Брус Х. Едуардс (2010). "Calculus", 9-то издание, Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
Маккуори, Доналд А. (2003). Математически методи за учени и инженери, Университетски научни книги.