Ιστορία της δημιουργίας της μαθηματικής ανάλυσης. Μαθηματική ανάλυση

Οι ιδρυτές της σύγχρονης επιστήμης - ο Κοπέρνικος, ο Κέπλερ, ο Γαλιλαίος και ο Νεύτωνας - προσέγγισαν τη μελέτη της φύσης ως μαθηματικά. Μελετώντας την κίνηση, οι μαθηματικοί ανέπτυξαν μια τέτοια θεμελιώδη έννοια όπως η συνάρτηση ή η σχέση μεταξύ μεταβλητών, για παράδειγμα ρε = kt 2 όπου ρεείναι η απόσταση που διανύει ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα, και t- τον αριθμό των δευτερολέπτων που το σώμα βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση. Η έννοια της συνάρτησης έγινε αμέσως κεντρική στον προσδιορισμό της ταχύτητας σε μια δεδομένη χρονική στιγμή και της επιτάχυνσης ενός κινούμενου σώματος. Η μαθηματική δυσκολία αυτού του προβλήματος ήταν ότι ανά πάσα στιγμή το σώμα διανύει μηδενική απόσταση σε χρόνο μηδέν. Επομένως, προσδιορίζοντας την τιμή της ταχύτητας σε μια χρονική στιγμή διαιρώντας το μονοπάτι με το χρόνο, φτάνουμε στη μαθηματικά ανούσια έκφραση 0/0.

Το πρόβλημα του προσδιορισμού και του υπολογισμού των στιγμιαίων ρυθμών μεταβολής των διαφόρων ποσοτήτων τράβηξε την προσοχή σχεδόν όλων των μαθηματικών του 17ου αιώνα, συμπεριλαμβανομένων των Barrow, Fermat, Descartes και Wallis. Οι ανόμοιες ιδέες και μέθοδοι που πρότειναν συνδυάστηκαν σε μια συστηματική, καθολικά εφαρμόσιμη επίσημη μέθοδο από τους Newton και G. Leibniz (1646-1716), τους δημιουργούς του διαφορικού λογισμού. Υπήρξαν έντονες συζητήσεις μεταξύ τους για το ζήτημα της προτεραιότητας στην ανάπτυξη αυτού του λογισμού, με τον Νεύτωνα να κατηγορεί τον Λάιμπνιτς για λογοκλοπή. Ωστόσο, όπως έχει δείξει η έρευνα ιστορικών της επιστήμης, ο Leibniz δημιούργησε μαθηματική ανάλυση ανεξάρτητα από τον Newton. Ως αποτέλεσμα της σύγκρουσης, η ανταλλαγή ιδεών μεταξύ μαθηματικών της ηπειρωτικής Ευρώπης και της Αγγλίας διεκόπη για πολλά χρόνια, εις βάρος της αγγλικής πλευράς. Άγγλοι μαθηματικοί συνέχισαν να αναπτύσσουν τις ιδέες της ανάλυσης σε μια γεωμετρική κατεύθυνση, ενώ οι μαθηματικοί της ηπειρωτικής Ευρώπης, συμπεριλαμβανομένων των I. Bernoulli (1667-1748), Euler και Lagrange πέτυχαν ασύγκριτα μεγαλύτερη επιτυχία ακολουθώντας την αλγεβρική ή αναλυτική προσέγγιση.

Η βάση κάθε μαθηματικής ανάλυσης είναι η έννοια του ορίου. Η ταχύτητα σε μια στιγμή ορίζεται ως το όριο στο οποίο τείνει η μέση ταχύτητα ρε/tόταν η αξία tπλησιάζει στο μηδέν. Ο διαφορικός λογισμός παρέχει μια υπολογιστικά βολική γενική μέθοδο για την εύρεση του ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης φά (Χ) για οποιαδήποτε τιμή Χ. Αυτή η ταχύτητα ονομάζεται παράγωγος. Από τη γενικότητα του δίσκου φά (Χ) είναι σαφές ότι η έννοια της παραγώγου μπορεί να εφαρμοστεί όχι μόνο σε προβλήματα που σχετίζονται με την ανάγκη εύρεσης ταχύτητας ή επιτάχυνσης, αλλά και σε σχέση με οποιαδήποτε λειτουργική εξάρτηση, για παράδειγμα, σε κάποια σχέση από την οικονομική θεωρία. Μία από τις κύριες εφαρμογές του διαφορικού λογισμού είναι το λεγόμενο. Μέγιστες και ελάχιστες εργασίες· Ένα άλλο σημαντικό φάσμα προβλημάτων είναι η εύρεση της εφαπτομένης σε μια δεδομένη καμπύλη.

Αποδείχθηκε ότι με τη βοήθεια ενός παραγώγου, που επινοήθηκε ειδικά για την εργασία με προβλήματα κίνησης, είναι επίσης δυνατό να βρεθούν περιοχές και όγκοι που περιορίζονται από καμπύλες και επιφάνειες, αντίστοιχα. Οι μέθοδοι της Ευκλείδειας γεωμετρίας δεν είχαν την απαραίτητη γενικότητα και δεν επέτρεπαν τη λήψη των απαιτούμενων ποσοτικών αποτελεσμάτων. Μέσα από τις προσπάθειες μαθηματικών του 17ου αιώνα. Δημιουργήθηκαν πολυάριθμες ιδιωτικές μέθοδοι που επέτρεψαν την εύρεση των περιοχών των σχημάτων που οριοθετούνται από καμπύλες του ενός ή του άλλου τύπου και σε ορισμένες περιπτώσεις σημειώθηκε η σύνδεση μεταξύ αυτών των προβλημάτων και των προβλημάτων εύρεσης του ρυθμού αλλαγής των συναρτήσεων. Αλλά, όπως και στην περίπτωση του διαφορικού λογισμού, ήταν ο Νεύτωνας και ο Λάιμπνιτς που συνειδητοποίησαν τη γενικότητα της μεθόδου και έτσι έθεσαν τα θεμέλια του ολοκληρωτικού λογισμού.

Η μέθοδος Newton-Leibniz ξεκινά αντικαθιστώντας την καμπύλη που περιορίζει την περιοχή που πρέπει να προσδιοριστεί με μια ακολουθία διακεκομμένων γραμμών που την προσεγγίζουν, παρόμοια με αυτή που έγινε στη μέθοδο εξάντλησης που επινόησαν οι Έλληνες. Το ακριβές εμβαδόν είναι ίσο με το όριο του αθροίσματος των εμβαδών nορθογώνια όταν nστρέφεται στο άπειρο. Ο Newton έδειξε ότι αυτό το όριο μπορούσε να βρεθεί αντιστρέφοντας τη διαδικασία εύρεσης του ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης. Η αντίστροφη λειτουργία της διαφοροποίησης ονομάζεται ολοκλήρωση. Η δήλωση ότι η άθροιση μπορεί να επιτευχθεί με αντιστροφή της διαφοροποίησης ονομάζεται θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Ακριβώς όπως η διαφοροποίηση μπορεί να εφαρμοστεί σε μια πολύ ευρύτερη κατηγορία προβλημάτων από την εύρεση ταχυτήτων και επιταχύνσεων, η ολοκλήρωση είναι εφαρμόσιμη σε οποιοδήποτε πρόβλημα που περιλαμβάνει άθροιση, όπως τα προβλήματα φυσικής που περιλαμβάνουν την προσθήκη δυνάμεων.

Αραβικά Βουλγαρικά Κινεζικά Κροατικά Τσεχικά Δανικά Ολλανδικά Αγγλικά Εσθονικά Φινλανδικά Γαλλικά Γερμανικά Ελληνικά Εβραϊκά Χίντι Ουγγρικά Ισλανδικά Ινδονησιακά Ιαπωνικά Κορεατικά Λετονικά Λιθουανικά Μαδαγασκικά Νορβηγικά Περσικά Πολωνικά Πορτογαλικά Ρουμάνικα Ρώσικα Σερβικά Σλοβακικά Σλοβενικά Ισπανικά Σουηδικά Τουρκικά Βιετναμέζικα

ορισμός - Μαθηματική_ανάλυση

Στην εκπαιδευτική διαδικασία, η ανάλυση περιλαμβάνει:

Ταυτόχρονα, προαιρετικά δίνονται στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης και η θεωρία του ολοκληρώματος Lebesgue και σε ξεχωριστά μαθήματα διδάσκονται τα TFKP, λογισμός μεταβολών και η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Η αυστηρότητα της παρουσίασης ακολουθεί πρότυπα του τέλους του 19ου αιώνα και συγκεκριμένα κάνει χρήση της αφελούς θεωρίας συνόλων.

Το πρόγραμμα του μαθήματος ανάλυσης που διδάσκεται σε πανεπιστήμια της Ρωσικής Ομοσπονδίας αντιστοιχεί περίπου στο πρόγραμμα του αγγλοαμερικανικού μαθήματος «Λογισμός».

Ιστορία

Οι προκάτοχοι της μαθηματικής ανάλυσης ήταν η αρχαία μέθοδος της εξάντλησης και η μέθοδος των αδιαιρέτων. Και οι τρεις κατευθύνσεις, συμπεριλαμβανομένης της ανάλυσης, σχετίζονται με μια κοινή αρχική ιδέα: την αποσύνθεση σε απειροελάχιστα στοιχεία, η φύση των οποίων, ωστόσο, φαινόταν μάλλον ασαφής στους συντάκτες της ιδέας. Αλγεβρική προσέγγιση ( απειροελάχιστος λογισμός) αρχίζει να εμφανίζεται στους Wallis, James Gregory και Barrow. Ο νέος λογισμός ως σύστημα δημιουργήθηκε πλήρως από τον Νεύτωνα, ο οποίος, ωστόσο, δεν δημοσίευσε τις ανακαλύψεις του για πολύ καιρό.

Η επίσημη ημερομηνία γέννησης του διαφορικού λογισμού μπορεί να θεωρηθεί ο Μάιος, όταν ο Leibniz δημοσίευσε το πρώτο του άρθρο "Μια νέα μέθοδος υψηλών και χαμηλών...". Αυτό το άρθρο, σε μια συνοπτική και απρόσιτη μορφή, καθόρισε τις αρχές μιας νέας μεθόδου που ονομάζεται διαφορικός λογισμός.

Ο Λάιμπνιτς και οι μαθητές του

Αυτοί οι ορισμοί επεξηγούνται γεωμετρικά, ενώ στο Σχ. οι απειροελάχιστες προσαυξήσεις απεικονίζονται ως πεπερασμένες. Η εξέταση βασίζεται σε δύο απαιτήσεις (αξιώματα). Πρώτα:

Απαιτείται δύο ποσότητες που διαφέρουν μεταξύ τους μόνο κατά ένα απειροελάχιστο ποσό να μπορούν να ληφθούν [κατά την απλοποίηση των εκφράσεων;] αδιάφορα το ένα αντί για το άλλο.

Η συνέχεια κάθε τέτοιας γραμμής ονομάζεται εφαπτομένη της καμπύλης. Ερευνώντας την εφαπτομένη που διέρχεται από το σημείο, το L'Hopital δίνει μεγάλη σημασία στην ποσότητα

φτάνοντας σε ακραίες τιμές στα σημεία καμπής της καμπύλης, αλλά δεν δίνεται ιδιαίτερη σημασία στη σχέση με.

Είναι αξιοσημείωτο να βρείτε ακραία σημεία. Εάν, με συνεχή αύξηση της διαμέτρου, η τεταγμένη πρώτα αυξάνεται και μετά μειώνεται, τότε το διαφορικό είναι πρώτα θετικό σε σύγκριση με το , και μετά αρνητικό.

Αλλά οποιαδήποτε συνεχώς αυξανόμενη ή φθίνουσα τιμή δεν μπορεί να μετατραπεί από θετική σε αρνητική χωρίς να περάσει από το άπειρο ή το μηδέν... Από αυτό προκύπτει ότι η διαφορά της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής πρέπει να είναι ίση με μηδέν ή άπειρο.

Αυτή η διατύπωση μάλλον δεν είναι άψογη, αν θυμηθούμε την πρώτη απαίτηση: ας πούμε, , τότε δυνάμει της πρώτης απαίτησης

;

στο μηδέν, η δεξιά πλευρά είναι μηδέν και η αριστερή πλευρά δεν είναι. Προφανώς θα έπρεπε να ειπωθεί ότι μπορεί να μετατραπεί σύμφωνα με την πρώτη απαίτηση έτσι ώστε στο μέγιστο σημείο . . Στα παραδείγματα, όλα είναι αυτονόητα και μόνο στη θεωρία των σημείων καμπής ο L'Hopital γράφει ότι είναι ίσο με μηδέν στο μέγιστο σημείο, διαιρούμενο με .

Περαιτέρω, με τη βοήθεια μόνο των διαφορικών, διατυπώνονται ακραίες συνθήκες και εξετάζεται ένας μεγάλος αριθμός πολύπλοκων προβλημάτων που σχετίζονται κυρίως με τη διαφορική γεωμετρία στο επίπεδο. Στο τέλος του βιβλίου, στο κεφ. 10, ορίζει αυτό που τώρα ονομάζεται κανόνας του L'Hopital, αν και σε ασυνήθιστη μορφή. Έστω η τεταγμένη της καμπύλης να εκφραστεί ως κλάσμα, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του οποίου εξαφανίζονται στο . Τότε το σημείο της καμπύλης c έχει τεταγμένη ίση με τον λόγο του διαφορικού του αριθμητή προς το διαφορικό του παρονομαστή που λαμβάνεται στο .

Σύμφωνα με το σχέδιο του L'Hôpital, αυτό που έγραψε αποτελούσε το πρώτο μέρος της Ανάλυσης, ενώ το δεύτερο υποτίθεται ότι περιέχει ολοκληρωτικό λογισμό, δηλαδή μια μέθοδο εύρεσης της σύνδεσης μεταξύ μεταβλητών με βάση τη γνωστή σύνδεση των διαφορικών τους. Η πρώτη του παρουσίαση έγινε από τον Johann Bernoulli στο δικό του Μαθηματικές διαλέξεις για την ολοκληρωτική μέθοδο. Εδώ δίνεται μια μέθοδος για τη λήψη των περισσότερων στοιχειωδών ολοκληρωμάτων και υποδεικνύονται μέθοδοι για την επίλυση πολλών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης.

Επισημαίνοντας την πρακτική χρησιμότητα και την απλότητα της νέας μεθόδου, ο Leibniz έγραψε:

Αυτό που μπορεί να αποκτήσει ένας έμπειρος σε αυτόν τον λογισμό απευθείας σε τρεις γραμμές, άλλοι λόγιοι άνθρωποι αναγκάστηκαν να αναζητήσουν ακολουθώντας περίπλοκες παρακάμψεις.

Euler

Οι αλλαγές που έγιναν τον επόμενο μισό αιώνα αντικατοπτρίζονται στην εκτενή πραγματεία του Euler. Η παρουσίαση της ανάλυσης ξεκινά με μια δίτομη «Εισαγωγή», η οποία περιέχει έρευνα για διάφορες αναπαραστάσεις στοιχειωδών συναρτήσεων. Ο όρος «συνάρτηση» εμφανίζεται για πρώτη φορά μόνο στο Leibniz, αλλά ήταν ο Euler που τον έβαλε στην πρώτη θέση. Η αρχική ερμηνεία της έννοιας της συνάρτησης ήταν ότι μια συνάρτηση είναι μια έκφραση για μέτρηση (γερμανικά. Rechnungsausdrϋck) ή αναλυτική έκφραση.

Μια συνάρτηση μεταβλητής ποσότητας είναι μια αναλυτική έκφραση που αποτελείται κατά κάποιο τρόπο από αυτήν τη μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές ποσότητες.

Τονίζοντας ότι «η κύρια διαφορά μεταξύ των συναρτήσεων έγκειται στον τρόπο με τον οποίο αποτελούνται από μεταβλητή και σταθερή», ο Euler απαριθμεί τις ενέργειες «μέσω των οποίων οι ποσότητες μπορούν να συνδυαστούν και να αναμειχθούν μεταξύ τους. Αυτές οι ενέργειες είναι: πρόσθεση και αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση, εκτίμηση και εξαγωγή ριζών. Αυτό θα πρέπει επίσης να περιλαμβάνει τη λύση [αλγεβρικών] εξισώσεων. Εκτός από αυτές τις πράξεις, που ονομάζονται αλγεβρικές, υπάρχουν πολλές άλλες, υπερβατικές, όπως: εκθετικές, λογαριθμικές και αμέτρητες άλλες, που παραδίδονται με ολοκληρωτικό λογισμό. Αυτή η ερμηνεία κατέστησε δυνατό τον εύκολο χειρισμό συναρτήσεων πολλαπλών τιμών και δεν απαιτούσε εξήγηση για το ποιο πεδίο θεωρούνταν ως άνω η συνάρτηση: η έκφραση μέτρησης ορίστηκε για σύνθετες τιμές μεταβλητών, ακόμη και όταν αυτό δεν ήταν απαραίτητο για το πρόβλημα κάτω από θεώρηση.

Οι πράξεις στην έκφραση επιτρέπονταν μόνο σε πεπερασμένους αριθμούς και το υπερβατικό διείσδυσε με τη βοήθεια ενός απείρως μεγάλου αριθμού. Στις εκφράσεις, αυτός ο αριθμός χρησιμοποιείται μαζί με φυσικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, μια τέτοια έκφραση για τον εκθέτη θεωρείται αποδεκτή

στην οποία μόνο μεταγενέστεροι συγγραφείς είδαν την τελική μετάβαση. Έγιναν διάφοροι μετασχηματισμοί με αναλυτικές εκφράσεις, οι οποίες επέτρεψαν στον Euler να βρει παραστάσεις για στοιχειώδεις συναρτήσεις με τη μορφή σειρών, άπειρων γινομένων κ.λπ. μια συνάρτηση σε ένα σημείο για καθένα από γραπτούς τύπους.

Σε αντίθεση με το L'Hopital, ο Euler εξετάζει λεπτομερώς τις υπερβατικές συναρτήσεις και συγκεκριμένα τις δύο πιο μελετημένες κατηγορίες τους - την εκθετική και την τριγωνομετρική. Ανακαλύπτει ότι όλες οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας αριθμητικές πράξεις και δύο πράξεις - λαμβάνοντας τον λογάριθμο και τον εκθέτη.

Η ίδια η απόδειξη δείχνει τέλεια την τεχνική της χρήσης του απείρως μεγάλου. Έχοντας ορίσει το ημίτονο και το συνημίτονο χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, ο Euler εξήγαγε τα ακόλουθα από τους τύπους πρόσθεσης:

Υποθέτοντας και , παίρνει

απορρίπτοντας απειροελάχιστες ποσότητες υψηλότερης τάξης. Χρησιμοποιώντας αυτή και μια παρόμοια έκφραση, ο Euler απέκτησε τη διάσημη φόρμουλα του

Έχοντας υποδείξει διάφορες εκφράσεις για συναρτήσεις που τώρα ονομάζονται στοιχειώδεις, ο Euler προχωρά στην εξέταση των καμπυλών σε ένα επίπεδο που σχεδιάζεται με ελεύθερη κίνηση του χεριού. Κατά τη γνώμη του, δεν είναι δυνατό να βρεθεί μια ενιαία αναλυτική έκφραση για κάθε τέτοια καμπύλη (βλ. επίσης τη Διαφωνία Χορδών). Τον 19ο αιώνα, με την προτροπή του Casorati, αυτή η δήλωση θεωρήθηκε λανθασμένη: σύμφωνα με το θεώρημα του Weierstrass, οποιαδήποτε συνεχής καμπύλη με τη σύγχρονη έννοια μπορεί να περιγραφεί κατά προσέγγιση με πολυώνυμα. Στην πραγματικότητα, ο Euler δύσκολα πείστηκε από αυτό, γιατί έπρεπε ακόμα να ξαναγράψει το απόσπασμα στο όριο χρησιμοποιώντας το σύμβολο.

Ο Euler ξεκινά την παρουσίαση του διαφορικού λογισμού με τη θεωρία των πεπερασμένων διαφορών, ακολουθούμενη στο τρίτο κεφάλαιο από μια φιλοσοφική εξήγηση ότι «ένα απειροελάχιστο μέγεθος είναι ακριβώς μηδέν», κάτι που κυρίως δεν ταίριαζε στους συγχρόνους του Euler. Στη συνέχεια, σχηματίζονται διαφορικά από πεπερασμένες διαφορές σε απειροελάχιστη προσαύξηση και από τον τύπο παρεμβολής του Νεύτωνα - τον τύπο του Taylor. Αυτή η μέθοδος ουσιαστικά ανάγεται στο έργο του Taylor (1715). Στην περίπτωση αυτή, ο Euler έχει μια σταθερή σχέση , η οποία ωστόσο θεωρείται ως σχέση δύο απειροελάχιστων. Τα τελευταία κεφάλαια είναι αφιερωμένα στον κατά προσέγγιση υπολογισμό με χρήση σειρών.

Στον ολοκληρωτικό λογισμό τριών τόμων, ο Euler ερμηνεύει και εισάγει την έννοια του ολοκληρώματος ως εξής:

Η συνάρτηση της οποίας το διαφορικό ονομάζεται ολοκλήρωσή της και συμβολίζεται με το πρόσημο που τοποθετείται μπροστά.

Γενικά, αυτό το μέρος της πραγματείας του Euler είναι αφιερωμένο σε ένα γενικότερο, από μια σύγχρονη άποψη, πρόβλημα της ολοκλήρωσης των διαφορικών εξισώσεων. Ταυτόχρονα, ο Euler βρίσκει έναν αριθμό ολοκληρωμάτων και διαφορικών εξισώσεων που οδηγούν σε νέες συναρτήσεις, για παράδειγμα, -συναρτήσεις, ελλειπτικές συναρτήσεις κ.λπ. Μια αυστηρή απόδειξη της μη στοιχειώδους φύσης τους δόθηκε στη δεκαετία του 1830 από τον Jacobi για τις ελλειπτικές συναρτήσεις και από τον Liouville (βλ. στοιχειώδεις συναρτήσεις).

Lagrange

Το επόμενο σημαντικό έργο που έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της έννοιας της ανάλυσης ήταν Θεωρία αναλυτικών συναρτήσεωνΗ εκτενής αναδιήγηση του έργου του Lagrange από τον Lagrange και τον Lacroix με έναν κάπως εκλεκτικό τρόπο.

Θέλοντας να απαλλαγεί εντελώς από το απειροελάχιστο, ο Lagrange αντέστρεψε τη σύνδεση μεταξύ των παραγώγων και της σειράς Taylor. Με την αναλυτική συνάρτηση ο Lagrange κατανοούσε μια αυθαίρετη συνάρτηση που μελετήθηκε με αναλυτικές μεθόδους. Ονόμασε την ίδια τη συνάρτηση ως , δίνοντας έναν γραφικό τρόπο για να γραφτεί η εξάρτηση - νωρίτερα ο Euler αρκέστηκε μόνο σε μεταβλητές. Για την εφαρμογή μεθόδων ανάλυσης, σύμφωνα με τον Lagrange, είναι απαραίτητο η συνάρτηση να επεκταθεί σε μια σειρά

των οποίων οι συντελεστές θα είναι νέες συναρτήσεις. Μένει να το ονομάσουμε παράγωγο (διαφορικός συντελεστής) και να το συμβολίσουμε ως . Έτσι, η έννοια του παραγώγου εισάγεται στη δεύτερη σελίδα της πραγματείας και χωρίς τη βοήθεια απειροελάχιστων. Μένει να σημειωθεί ότι

επομένως ο συντελεστής είναι διπλάσιος από την παράγωγο της παραγώγου, δηλαδή

και τα λοιπά.

Αυτή η προσέγγιση στην ερμηνεία της έννοιας της παραγώγου χρησιμοποιείται στη σύγχρονη άλγεβρα και χρησίμευσε ως βάση για τη δημιουργία της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων του Weierstrass.

Ο Lagrange λειτούργησε με τέτοιες σειρές όπως τυπικές και απέκτησε μια σειρά από αξιοσημείωτα θεωρήματα. Συγκεκριμένα, για πρώτη φορά και αρκετά αυστηρά απέδειξε τη δυνατότητα επίλυσης του αρχικού προβλήματος για συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις σε τυπικές σειρές ισχύος.

Το ζήτημα της αξιολόγησης της ακρίβειας των προσεγγίσεων που παρέχονται από μερικά αθροίσματα της σειράς Taylor τέθηκε για πρώτη φορά από τον Lagrange: στο τέλος Θεωρίες αναλυτικών συναρτήσεωνέβγαλε αυτό που τώρα ονομάζεται τύπος του Taylor με έναν υπόλοιπο όρο σε μορφή Lagrange. Ωστόσο, σε αντίθεση με τους σύγχρονους συγγραφείς, ο Lagrange δεν είδε την ανάγκη να χρησιμοποιήσει αυτό το αποτέλεσμα για να δικαιολογήσει τη σύγκλιση της σειράς Taylor.

Το ερώτημα εάν οι συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση μπορούν πραγματικά να επεκταθούν σε μια σειρά ισχύος έγινε στη συνέχεια αντικείμενο συζήτησης. Φυσικά, ο Lagrange γνώριζε ότι σε ορισμένα σημεία οι στοιχειώδεις συναρτήσεις μπορεί να μην επεκταθούν σε μια σειρά ισχύος, αλλά σε αυτά τα σημεία δεν είναι διαφοροποιήσιμες με καμία έννοια. Ο Cauchy στα δικά του Αλγεβρική ανάλυσηανέφερε τη συνάρτηση ως αντιπαράδειγμα

επεκτείνεται κατά μηδέν στο μηδέν. Αυτή η συνάρτηση είναι ομαλή παντού στον πραγματικό άξονα και στο μηδέν έχει μηδενική σειρά Maclaurin, η οποία, επομένως, δεν συγκλίνει στην τιμή . Σε αυτό το παράδειγμα, ο Poisson αντιτάχθηκε ότι ο Lagrange όρισε τη συνάρτηση ως μια ενιαία αναλυτική έκφραση, ενώ στο παράδειγμα του Cauchy η συνάρτηση ορίζεται διαφορετικά στο μηδέν και στο . Μόνο στα τέλη του 19ου αιώνα ο Pringsheim απέδειξε ότι υπάρχει μια απείρως διαφοροποιήσιμη συνάρτηση, που δίνεται από μία μόνο έκφραση, για την οποία η σειρά Maclaurin αποκλίνει. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας συνάρτησης είναι η έκφραση

Περαιτέρω ανάπτυξη

Στο τελευταίο τρίτο του 19ου αιώνα, ο Weierstrass αριθμοποίησε την ανάλυση, θεωρώντας ότι η γεωμετρική αιτιολόγηση είναι ανεπαρκής και πρότεινε έναν κλασικό ορισμό του ορίου μέσω της γλώσσας ε-δ. Δημιούργησε επίσης την πρώτη αυστηρή θεωρία του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Ταυτόχρονα, οι προσπάθειες βελτίωσης του θεωρήματος της ενσωμάτωσης του Riemann οδήγησαν στη δημιουργία μιας ταξινόμησης ασυνέχειας πραγματικών συναρτήσεων. Ανακαλύφθηκαν επίσης «παθολογικά» παραδείγματα (συνεχείς συναρτήσεις που δεν διαφοροποιούνται πουθενά, καμπύλες που γεμίζουν χώρο). Από αυτή την άποψη, ο Jordan ανέπτυξε τη θεωρία μετρήσεων και ο Cantor ανέπτυξε τη θεωρία συνόλων και στις αρχές του 20ου αιώνα, η μαθηματική ανάλυση επισημοποιήθηκε με τη βοήθειά τους. Μια άλλη σημαντική εξέλιξη του 20ου αιώνα ήταν η ανάπτυξη της μη τυποποιημένης ανάλυσης ως εναλλακτικής προσέγγισης για την αιτιολόγηση της ανάλυσης.

Ενότητες μαθηματικής ανάλυσης

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Εγκυκλοπαιδικά άρθρα

Εκπαιδευτική βιβλιογραφία

Πρότυπα σχολικά βιβλία

Για πολλά χρόνια, τα ακόλουθα εγχειρίδια ήταν δημοφιλή στη Ρωσία:

Ορισμένα πανεπιστήμια έχουν τους δικούς τους οδηγούς ανάλυσης:

Μαθηματικά σε ΠολυτεχνείοΣυλλογή σχολικών βιβλίων σε 21 τόμους.

Μπογκντάνοφ Γιού.Διαλέξεις για τη μαθηματική ανάλυση (σε δύο μέρη). - Μινσκ: BSU, 1974. - 357 σελ.

Προχωρημένα σχολικά βιβλία

Σχολικά βιβλία:

Ρούντιν Ου.Βασικές αρχές μαθηματικής ανάλυσης. Μ., 1976 - ένα μικρό βιβλίο, γραμμένο πολύ καθαρά και συνοπτικά.

Προβλήματα αυξημένης δυσκολίας:

G. Polia, G. Szege,Προβλήματα και θεωρήματα από την ανάλυση.

Η φιλοσοφία θεωρείται το επίκεντρο όλων των επιστημών, αφού περιλάμβανε τα πρώτα μικρόβια της λογοτεχνίας, της αστρονομίας, της λογοτεχνίας, των φυσικών επιστημών, των μαθηματικών και άλλων τομέων. Με την πάροδο του χρόνου, κάθε τομέας αναπτύχθηκε ανεξάρτητα, τα μαθηματικά δεν αποτελούσαν εξαίρεση. Η πρώτη «υπόδειξη» ανάλυσης θεωρείται η θεωρία της αποσύνθεσης σε απειροελάχιστα μεγέθη, την οποία πολλά μυαλά προσπάθησαν να προσεγγίσουν, αλλά ήταν ασαφής και δεν είχε βάση. Αυτό οφείλεται σε μια προσκόλληση στην παλιά σχολή της επιστήμης, η οποία ήταν αυστηρή στις διατυπώσεις της. Ο Ισαάκ Νεύτων έφτασε πολύ κοντά στο να σχηματίσει τα θεμέλια, αλλά ήταν πολύ αργά. Ως αποτέλεσμα, η μαθηματική ανάλυση οφείλει την εμφάνισή της ως ξεχωριστό σύστημα στον φιλόσοφο Gottfried Leibniz. Ήταν αυτός που εισήγαγε στον επιστημονικό κόσμο έννοιες όπως το ελάχιστο και το μέγιστο, τα σημεία καμπής και η κυρτότητα της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης και διατύπωσε τα θεμέλια του διαφορικού λογισμού. Από αυτή τη στιγμή τα μαθηματικά χωρίζονται επίσημα σε δημοτικά και ανώτερα.

Μαθηματική ανάλυση. Οι μέρες μας

Οποιαδήποτε ειδικότητα, είτε είναι τεχνική είτε ανθρωπιστική, περιλαμβάνει ανάλυση κατά τη διάρκεια της μελέτης. Το βάθος της μελέτης ποικίλλει, αλλά η ουσία παραμένει η ίδια. Παρ' όλη την «αφηρικότητα», είναι ένας από τους πυλώνες στους οποίους στηρίζεται η φυσική επιστήμη στη σύγχρονη κατανόησή της. Με τη βοήθειά του, τη φυσική και την οικονομία που αναπτύχθηκαν, είναι σε θέση να περιγράψει και να προβλέψει τις δραστηριότητες του χρηματιστηρίου και να βοηθήσει στη δημιουργία ενός βέλτιστου χαρτοφυλακίου μετοχών. Η εισαγωγή στη μαθηματική ανάλυση βασίζεται σε στοιχειώδεις έννοιες:

πλήθη?
βασικές λειτουργίες σε σύνολα.
ιδιότητες πράξεων σε σύνολα.
συναρτήσεις (αλλιώς γνωστές ως αντιστοιχίσεις).
τύποι λειτουργιών?
ακολουθίες?
αριθμητικές γραμμές?
όριο ακολουθίας?
ιδιότητες των ορίων.
συνέχεια λειτουργίας.

Αξίζει να τονιστούν ξεχωριστά έννοιες όπως σύνολο, σημείο, ευθεία γραμμή, επίπεδο. Όλες δεν έχουν ορισμούς, αφού είναι οι βασικές έννοιες πάνω στις οποίες χτίζονται όλα τα μαθηματικά. Το μόνο που μπορεί να γίνει στη διαδικασία είναι να εξηγηθεί τι ακριβώς σημαίνουν σε μεμονωμένες περιπτώσεις.

Όριο ως συνέχεια

Οι βασικές αρχές της μαθηματικής ανάλυσης περιλαμβάνουν το όριο. Στην πράξη, αντιπροσωπεύει την τιμή στην οποία επιδιώκει μια ακολουθία ή συνάρτηση, πλησιάζει όσο το επιθυμείτε, αλλά δεν την φτάνει. Συμβολίζεται ως lim, εξετάστε μια ειδική περίπτωση του ορίου της συνάρτησης: lim (x-1)= 0 για x→1. Από αυτό το απλούστερο παράδειγμα είναι σαφές ότι ως x→1 ολόκληρη η συνάρτηση τείνει στο 0, αφού αν αντικαταστήσουμε το όριο στην ίδια τη συνάρτηση, παίρνουμε (1-1)=0. Λεπτομερέστερες πληροφορίες, από στοιχειώδεις έως περίπλοκες ειδικές περιπτώσεις, παρουσιάζονται σε ένα είδος «Βίβλου» ανάλυσης - τα έργα του Fichtenholtz. Εξετάζει τη μαθηματική ανάλυση, τα όρια, την παραγωγή και περαιτέρω εφαρμογή τους. Για παράδειγμα, η παραγωγή του αριθμού e (σταθερά του Euler) θα ήταν αδύνατη χωρίς τη θεωρία των ορίων. Παρά τη δυναμική αφαίρεση της θεωρίας, τα όρια χρησιμοποιούνται ενεργά στην πράξη στην οικονομία και την κοινωνιολογία. Για παράδειγμα, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αυτά κατά τον υπολογισμό των τόκων σε μια τραπεζική κατάθεση.

Κατά την αρχαία περίοδο, εμφανίστηκαν κάποιες ιδέες που αργότερα οδήγησαν σε ολοκληρωτικό λογισμό, αλλά εκείνη την εποχή αυτές οι ιδέες δεν αναπτύχθηκαν με αυστηρό, συστηματικό τρόπο. Οι υπολογισμοί όγκων και εμβαδών, ένας από τους σκοπούς του ολοκληρωτικού λογισμού, βρίσκονται στον μαθηματικό πάπυρο της Μόσχας από την Αίγυπτο (περίπου 1820 π.Χ.), αλλά οι τύποι μοιάζουν περισσότερο με οδηγίες, χωρίς καμία ένδειξη της μεθόδου, και μερικοί είναι απλώς σφαλερός. Στην εποχή των ελληνικών μαθηματικών, ο Εύδοξος (περίπου 408-355 π.Χ.) χρησιμοποίησε τη μέθοδο εξάντλησης για τον υπολογισμό των εμβαδών και των όγκων, η οποία προϋποθέτει την έννοια του ορίου, και αργότερα αυτή η ιδέα αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Αρχιμήδη (περίπου 287-212 π.Χ.). , επινοώντας ευρετικές μεθόδους που μοιάζουν με μεθόδους ολοκληρωτικού λογισμού. Η μέθοδος εξάντλησης εφευρέθηκε αργότερα στην Κίνα από τον Liu Hui τον 3ο αιώνα μ.Χ., την οποία χρησιμοποίησε για να υπολογίσει το εμβαδόν ενός κύκλου. Τον 5ο μ.Χ., ο Zu Chongzhi ανέπτυξε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του όγκου μιας σφαίρας, η οποία αργότερα θα ονομαζόταν αρχή του Καβαλιέρι.

Μεσαίωνας

Τον 14ο αιώνα, ο Ινδός μαθηματικός Madhava Sangamagrama και η Σχολή Αστρονομίας και Μαθηματικών της Κεράλα εισήγαγαν πολλά στοιχεία του λογισμού, όπως σειρές Taylor, προσέγγιση άπειρων σειρών, ολοκληρωμένο τεστ σύγκλισης, πρώιμες μορφές διαφοροποίησης, ολοκλήρωση κάθε όρου, επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων και τον προσδιορισμό της περιοχής κάτω από την καμπύλη είναι το ολοκλήρωσό της. Κάποιοι θεωρούν ότι το Yuktibhāṣā είναι το πρώτο έργο για τη μαθηματική ανάλυση.

Μοντερνα εποχη

Στην Ευρώπη, το θεμελιώδες έργο ήταν η πραγματεία του Bonaventura Cavalieri, στην οποία υποστήριξε ότι οι όγκοι και τα εμβαδά μπορούν να υπολογιστούν ως το άθροισμα των όγκων και των επιφανειών μιας απείρως λεπτής τομής. Οι ιδέες ήταν παρόμοιες με αυτές που περιέγραψε ο Αρχιμήδης στη Μέθοδό του, αλλά αυτή η πραγματεία του Αρχιμήδη χάθηκε μέχρι το πρώτο μισό του 20ού αιώνα. Το έργο του Καβαλιέρι δεν αναγνωρίστηκε επειδή οι μέθοδοί του θα μπορούσαν να οδηγήσουν σε λανθασμένα αποτελέσματα και έδωσε στα απειροελάχιστα μια αμφίβολη φήμη.

Επίσημη έρευνα για τον απειροελάχιστο λογισμό, τον οποίο ο Καβαλιέρι συνδύασε με τον λογισμό πεπερασμένων διαφορών, γινόταν στην Ευρώπη εκείνη την εποχή. Ο Pierre Fermat, ισχυριζόμενος ότι το δανείστηκε από τον Διόφαντο, εισήγαγε την έννοια της «οιονεί ισότητας» (αγγλικά: adequality), η οποία ήταν ισότητα μέχρι ένα απειροελάχιστο λάθος. Οι John Wallis, Isaac Barrow και James Gregory έκαναν επίσης σημαντικές συνεισφορές. Τα δύο τελευταία, γύρω στο 1675, απέδειξαν το δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού.

Λόγοι

Στα μαθηματικά, τα θεμέλια αναφέρονται σε έναν αυστηρό ορισμό ενός θέματος, ξεκινώντας από ακριβή αξιώματα και ορισμούς. Στο αρχικό στάδιο της ανάπτυξης του λογισμού, η χρήση απειροελάχιστων ποσοτήτων θεωρήθηκε χαλαρή και επικρίθηκε αυστηρά από αρκετούς συγγραφείς, κυρίως από τον Michel Rolle και τον Bishop Berkeley. Ο Μπέρκλεϋ περιέγραψε εξαιρετικά τα απειροελάχιστα ως «φαντάσματα νεκρών ποσοτήτων» στο βιβλίο του Ο Αναλυτής το 1734. Η ανάπτυξη μιας αυστηρής βάσης για τον λογισμό απασχόλησε τους μαθηματικούς για περισσότερο από έναν αιώνα μετά τον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς, και εξακολουθεί να είναι σε κάποιο βαθμό ένας ενεργός τομέας έρευνας σήμερα.

Αρκετοί μαθηματικοί, συμπεριλαμβανομένου του Maclaurin, προσπάθησαν να αποδείξουν την εγκυρότητα της χρήσης των απειροελάχιστων, αλλά αυτό έγινε μόνο 150 χρόνια αργότερα με το έργο των Cauchy και Weierstrass, οι οποίοι βρήκαν τελικά έναν τρόπο να αποφύγουν τα απλά «μικρά πράγματα» των απειροελάχιστων, και οι αρχές έγιναν διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. Στα γραπτά του Cauchy βρίσκουμε μια παγκόσμια γκάμα θεμελιωδών προσεγγίσεων, συμπεριλαμβανομένου του ορισμού της συνέχειας με όρους απειροελάχιστων και του (κάπως ανακριβούς) πρωτότυπου του (ε, δ)-ορισμού του ορίου στον ορισμό της διαφοροποίησης. Στο έργο του, ο Weierstrass επισημοποιεί την έννοια του ορίου και εξαλείφει τα απειροελάχιστα μεγέθη. Μετά από αυτό το έργο του Weierstrass, η γενική βάση του λογισμού έγιναν όρια, και όχι απειροελάχιστα μεγέθη. Ο Bernhard Riemann χρησιμοποίησε αυτές τις ιδέες για να δώσει έναν ακριβή ορισμό του ολοκληρώματος. Επιπλέον, κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, οι ιδέες του λογισμού γενικεύτηκαν στον Ευκλείδειο χώρο και στο μιγαδικό επίπεδο.

Στα σύγχρονα μαθηματικά, οι θεμελιώδεις αρχές του λογισμού περιλαμβάνονται στον κλάδο της πραγματικής ανάλυσης, ο οποίος περιέχει πλήρεις ορισμούς και αποδείξεις των θεωρημάτων του λογισμού. Το πεδίο της έρευνας του λογισμού έχει γίνει πολύ ευρύτερο. Ο Henri Lebesgue ανέπτυξε τη θεωρία των μέτρων συνόλου και τη χρησιμοποίησε για να καθορίσει ολοκληρώματα όλων εκτός από τις πιο εξωτικές συναρτήσεις. Ο Laurent Schwartz εισήγαγε γενικευμένες συναρτήσεις, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των παραγώγων οποιασδήποτε συνάρτησης γενικά.

Η εισαγωγή ορίων δεν καθόρισε τη μόνη αυστηρή προσέγγιση στη βάση του λογισμού. Μια εναλλακτική θα ήταν, για παράδειγμα, η μη τυπική ανάλυση του Abraham Robinson. Η προσέγγιση του Robinson, που αναπτύχθηκε τη δεκαετία του 1960, χρησιμοποιεί τεχνικά εργαλεία από τη μαθηματική λογική για να επεκτείνει το σύστημα των πραγματικών αριθμών σε απειροελάχιστους και απείρως μεγάλους αριθμούς, όπως στην αρχική ιδέα των Newton-Leibniz. Αυτοί οι αριθμοί, που ονομάζονται υπερπραγματικοί, μπορούν να χρησιμοποιηθούν στους συνήθεις κανόνες του λογισμού, όπως έκανε ο Leibniz.

Σημασια

Αν και ορισμένες ιδέες για τον λογισμό είχαν αναπτυχθεί προηγουμένως στην Αίγυπτο, την Ελλάδα, την Κίνα, την Ινδία, το Ιράκ, την Περσία και την Ιαπωνία, η σύγχρονη χρήση του λογισμού ξεκίνησε στην Ευρώπη τον 17ο αιώνα, όταν ο Isaac Newton και ο Gottfried Wilhelm Leibniz έχτισαν το έργο του προηγούμενων μαθηματικών να βασιστεί στις βασικές αρχές του. Η ανάπτυξη του λογισμού βασίστηκε σε προηγούμενες έννοιες της στιγμιαίας κίνησης και της περιοχής κάτω από μια καμπύλη.

Ο διαφορικός λογισμός χρησιμοποιείται σε υπολογισμούς που σχετίζονται με την ταχύτητα και την επιτάχυνση, την κλίση της καμπύλης και τη βελτιστοποίηση. Οι εφαρμογές του ολοκληρωτικού λογισμού περιλαμβάνουν υπολογισμούς που αφορούν περιοχές, όγκους, μήκη τόξων, κέντρα μάζας, έργο και πίεση. Πιο πολύπλοκες εφαρμογές περιλαμβάνουν υπολογισμούς σειρών ισχύος και σειρές Fourier.

Λογισμός [ ] χρησιμοποιείται επίσης για την απόκτηση ακριβέστερης κατανόησης της φύσης του χώρου, του χρόνου και της κίνησης. Για αιώνες, οι μαθηματικοί και οι φιλόσοφοι παλεύουν με τα παράδοξα που σχετίζονται με τη διαίρεση με το μηδέν ή την εύρεση του αθροίσματος μιας άπειρης σειράς αριθμών. Αυτά τα ερωτήματα προκύπτουν κατά τη μελέτη της κίνησης και τον υπολογισμό των περιοχών. Ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία έδωσε αρκετά διάσημα παραδείγματα τέτοιων παραδόξων. Ο λογισμός παρέχει εργαλεία για την επίλυση αυτών των παραδόξων, ιδιαίτερα των ορίων και των άπειρων σειρών.

Όρια και απειροελάχιστα

Σημειώσεις

Μόρις Κλάιν, Μαθηματική σκέψη από την αρχαιότητα έως τη σύγχρονη εποχή, Τομ. Εγώ
Αρχιμήδης, Μέθοδος, σε Τα Έργα του Αρχιμήδη ISBN 978-0-521-66160-7
Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Son Robertne.Μια σύγκριση των μελετών των κύκλων του Αρχίμδη» και του Liu Hui (αγγλικά): περιοδικό. - Springer, 1966. - Vol. 130. - Σελ. 279. - ISBN 0-792-33463-9., Κεφάλαιο, σελ. 279
Ζιλ, Ντένις Γ.Λογισμός: Early Transcendentals / Dennis G. Zill, Scott Wright, Warren S. Wright. - 3. - Jones & Bartlett Learning, 2009. - P. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3.,Απόσπασμα σελίδας 27
Ινδικά μαθηματικά
von Neumann, J., "The Mathematician", στο Heywood, R. B., ed., Τα Έργα του Νου, University of Chicago Press, 1947, pp. 180-196. Ανατύπωση στο Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compedium, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017, σσ. 618-626.
André Weil: Θεωρία αριθμών. Μια προσέγγιση μέσα από την ιστορία. Από το Χαμουράπι στο Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, σελ. 28.
Leibniz, Gottfried Wilhelm. Τα Πρώιμα Μαθηματικά Χειρόγραφα του Λάιμπνιτς. Cosimo, Inc., 2008. Σελίδα 228. Αντίγραφο
Unlu, Elif Μαρία Γκαετάνα Αγνέση (απροσδιόριστος) . Agnes Scott College (Απρίλιος 1995). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 5 Σεπτεμβρίου 2012.

Συνδέσεις

Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010). "Calculus", 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
McQuarrie, Donald A. (2003). Μαθηματικές Μέθοδοι για Επιστήμονες και Μηχανικούς, Πανεπιστημιακά Βιβλία Επιστήμης.